Kita sudah mengenal pembagian sejak sekolah dasar.

10 ÷ 2 = 5.

12 ÷ 3 = 4.

100 ÷ 10 = 10.

Kelihatannya sederhana.

Sampai suatu hari muncul pertanyaan:

Kalau 10 dibagi 0, hasilnya berapa?

Mungkin 0?

Mungkin 10?

Atau karena pembaginya sangat kecil, hasilnya justru sangat besar?

Kalau memasukkan operasi tersebut ke kalkulator, biasanya kita tidak mendapatkan angka biasa.

Sebagian kalkulator menampilkan:

Error.

Spreadsheet atau software matematika juga biasanya memperlakukan pembagian dengan nol sebagai operasi yang tidak valid atau tidak terdefinisi dalam aritmetika biasa.

Kenapa?

Apakah matematika memang sengaja membuat aturan bahwa angka tidak boleh dibagi nol?

Sebenarnya bukan begitu.

Alasannya muncul langsung dari arti pembagian itu sendiri.

Dan kita bisa memahaminya tanpa menggunakan rumus rumit.

Mulai dari Pertanyaan Paling Sederhana: Apa Itu Pembagian?

Bayangkan kita mempunyai 12 permen.

Permen tersebut ingin dibagikan sama rata kepada 3 orang.

Setiap orang mendapatkan:

4 permen.

Maka:

12 ÷ 3 = 4

Pembagian di sini dapat dibaca sebagai:

“Kalau 12 dibagi menjadi 3 kelompok yang sama, berapa isi setiap kelompok?”

Jawabannya 4.

Sekarang coba:

12 ÷ 4 = 3

Artinya 12 dapat dibagi menjadi 4 kelompok, masing-masing berisi 3.

Sampai sini semuanya normal.

Sekarang kita ganti pembaginya menjadi nol.

12 ÷ 0 = ?

Artinya kita mencoba membagi 12 menjadi…

nol kelompok.

Di sinilah masalah mulai muncul.

Kalau Tidak Ada Kelompok, 12 Harus Ditaruh di Mana?

Kembali ke contoh permen.

Kita mempunyai 12 permen.

Tetapi jumlah orang yang menerima adalah:

0 orang.

Pertanyaannya:

“Berapa permen yang diterima setiap orang?”

Masalahnya, tidak ada seorang pun yang menerima.

Kita tidak bisa mengatakan masing-masing mendapatkan:

1,

10,

100,

atau angka lainnya,

karena kelompok penerimanya sendiri tidak ada.

Namun ini baru intuisi awal.

Ada cara yang lebih kuat untuk melihat kenapa tidak boleh dibagi nol.

Pembagian Bisa Dicek Menggunakan Perkalian

Kita tahu:

12 ÷ 3 = 4

Kenapa hasilnya 4?

Karena:

4 × 3 = 12

Begitu juga:

20 ÷ 5 = 4

karena:

4 × 5 = 20

Jadi kalau kita ingin mencari:

12 ÷ 0

sebenarnya kita sedang bertanya:

“Angka berapa yang kalau dikalikan 0 hasilnya 12?”

Sekarang coba cari.

1 × 0 = 0.

5 × 0 = 0.

100 × 0 = 0.

1.000.000 × 0 = 0.

-50 × 0 = 0.

Tidak peduli angka apa yang kita pilih, kalau dikalikan dengan nol hasilnya tetap:

0.

Tidak pernah 12.

Maka tidak ada bilangan biasa yang dapat menjadi jawaban untuk:

12 ÷ 0.

Jadi Bukan Karena Matematikawan “Melarang”

Ini bagian penting.

Kadang orang mengatakan:

“Dalam matematika kita dilarang membagi dengan nol.”

Kalimat itu terdengar seolah-olah seseorang membuat aturan:

Semua boleh dilakukan kecuali pembagian dengan nol.

Padahal persoalannya lebih mendasar.

Kalau kita mencoba mendefinisikan hasilnya menggunakan hubungan normal antara pembagian dan perkalian, tidak ada angka yang memenuhi syarat tersebut.

Misalnya kita memaksa:

12 ÷ 0 = 5

maka seharusnya:

5 × 0 = 12

Tetapi itu salah.

Kalau kita mengatakan:

12 ÷ 0 = 999

maka harus berlaku:

999 × 0 = 12

Tetap salah.

Berapa pun angka yang dicoba, masalahnya tidak selesai.

Bagaimana Kalau 0 Dibagi Angka?

Nah, ini berbeda.

Misalnya:

0 ÷ 5 = 0

Ini valid.

Kenapa?

Karena:

0 × 5 = 0

Atau kalau menggunakan konsep pembagian:

kita mempunyai nol permen yang dibagikan kepada lima orang.

Setiap orang mendapatkan nol.

Tidak ada masalah.

Jadi kita perlu membedakan:

0 ÷ 5

dengan

5 ÷ 0.

Yang pertama mempunyai hasil 0.

Yang kedua tidak terdefinisi dalam aritmetika biasa.

Lalu Bagaimana dengan 0 ÷ 0?

Sekarang kita masuk ke kasus yang lebih aneh.

Kita mencoba:

0 ÷ 0 = ?

Gunakan metode tadi.

Kita sedang mencari angka x sehingga:

x × 0 = 0

Apa jawabannya?

0 bisa.

Karena:

0 × 0 = 0.

Tetapi 1 juga bisa.

1 × 0 = 0.

100 juga bisa.

100 × 0 = 0.

Bahkan -7 juga bisa.

-7 × 0 = 0.

Jadi masalahnya sekarang berbeda.

Pada:

12 ÷ 0

tidak ada angka yang memenuhi.

Sedangkan pada:

0 ÷ 0

terlalu banyak angka yang tampaknya bisa memenuhi hubungan perkalian tersebut.

Tidak ada satu jawaban unik yang bisa kita pilih.

Karena itu 0 ÷ 0 juga tidak dapat diperlakukan sebagai pembagian biasa dengan satu hasil tertentu.

Kenapa 10 ÷ 0 Bukan 0?

Ini salah satu jawaban yang paling sering ditebak.

Karena ada angka nol, mungkin hasilnya juga nol.

Tetapi cek menggunakan perkalian.

Kalau:

10 ÷ 0 = 0

maka seharusnya:

0 × 0 = 10

Padahal:

0 × 0 = 0.

Jadi jawabannya tidak mungkin 0.

Kenapa Bukan 10?

Mungkin kita berpikir:

“Kalau tidak dibagi ke siapa-siapa, ya 10-nya tetap 10.”

Tetapi itu menggambarkan situasi yang berbeda dari operasi pembagian.

Kalau kita mengatakan:

10 ÷ 0 = 10

hubungan kebalikannya mengharuskan:

10 × 0 = 10.

Padahal hasil sebenarnya:

0.

Jadi 10 juga tidak bekerja.

Kenapa Banyak Orang Mengira Jawabannya Tak Terhingga?

Ini bagian yang lebih menarik.

Coba lihat pola:

10 ÷ 10 = 1

10 ÷ 5 = 2

10 ÷ 2 = 5

10 ÷ 1 = 10

10 ÷ 0,5 = 20

10 ÷ 0,1 = 100

10 ÷ 0,01 = 1.000

10 ÷ 0,001 = 10.000

Semakin kecil angka positif yang digunakan sebagai pembagi, hasilnya semakin besar.

Maka muncul intuisi:

“Kalau pembaginya akhirnya menjadi 0, hasilnya pasti tak terhingga.”

Tetapi ada masalah.

Mendekati nol tidak sama dengan menjadi nol.

0,000001 Masih Bukan Nol

Sekecil apa pun angka positif yang kita pilih, selama masih lebih besar dari nol, pembagian tetap bisa dilakukan.

Misalnya:

1 ÷ 0,000001 = 1.000.000.

Angkanya sangat besar.

Tetapi pembaginya masih bukan nol.

Kita bisa membuat pembaginya semakin kecil:

0,0000001,

0,00000001,

0,000000001,

dan seterusnya.

Hasilnya semakin besar.

Tetapi kita tidak pernah benar-benar melakukan:

1 ÷ 0.

Konsep “mendekati” ini nantinya menjadi sangat penting dalam kalkulus.

Datang dari Arah Negatif, Ceritanya Berbeda

Sekarang coba mendekati nol menggunakan angka negatif.

1 ÷ -1 = -1

1 ÷ -0,1 = -10

1 ÷ -0,01 = -100

1 ÷ -0,001 = -1.000

Semakin dekat ke nol dari sisi negatif, nilainya bergerak ke arah negatif yang semakin besar magnitudonya.

Dari sisi positif:

hasil bergerak sangat besar positif.

Dari sisi negatif:

hasil bergerak sangat besar negatif.

Jadi mengatakan begitu saja:

1 ÷ 0 = ∞

akan mengabaikan masalah penting ini.

Infinity Bukan Angka Biasa

Simbol ∞ sering membuat orang membayangkan sebuah angka superbesar.

Misalnya setelah:

999.999.999

ada angka yang bernama:

infinity.

Bukan begitu.

Dalam banyak konteks matematika, infinity menggambarkan konsep tidak terbatas, bukan bilangan real biasa yang dapat diperlakukan persis seperti 5 atau 100.

Karena itu operasi yang melibatkan infinity membutuhkan konteks matematika yang jelas.

Kita tidak bisa sekadar menggunakan simbol ∞ sebagai solusi untuk setiap hasil yang “terlalu besar.”

Ada Berapa Angka Sebelum Kita Sampai Nol?

Misalnya kita bergerak dari 1 menuju 0:

1

0,5

0,25

0,125

0,0625

dan terus membagi dua.

Apakah akhirnya kita menemukan “angka terakhir sebelum nol”?

Tidak.

Di antara dua bilangan real berbeda selalu ada bilangan lain.

Antara:

0

dan

0,1

ada 0,05.

Antara:

0

dan

0,05

ada 0,025.

Dan proses itu dapat dilanjutkan.

Tidak ada “angka positif terkecil” dalam bilangan real yang duduk tepat di sebelah nol.

Nol Ternyata Angka yang Sangat Istimewa

Kita menggunakan nol setiap hari.

Rp0.

0 kilometer.

0 pesan.

0 item.

Kelihatannya seperti angka yang sangat sederhana.

Tetapi dalam matematika, nol mempunyai sifat yang unik.

Salah satunya:

setiap angka dikalikan nol menghasilkan nol.

Sifat sederhana inilah yang menjadi inti masalah pembagian dengan nol.

Kenapa Angka Dikali 0 Selalu 0?

Kita bisa memahami melalui repeated addition.

Misalnya:

3 × 4

dapat dibayangkan sebagai:

3 + 3 + 3 + 3 = 12.

Sekarang:

3 × 0

berarti tidak ada salinan 3 yang dijumlahkan.

Hasilnya:

Atau menggunakan sifat distributif:

5 × 1 = 5.

Kita tahu:

1 = 1 + 0.

Maka:

5 × (1 + 0) = 5.

Dengan distributive property:

5 × 1 + 5 × 0 = 5.

Karena 5 × 1 = 5:

5 + 5 × 0 = 5.

Supaya persamaan tetap benar:

5 × 0 harus sama dengan 0.

Nol Juga Berfungsi sebagai Identitas Penjumlahan

Kalau kita mempunyai:

8 + 0 = 8.

Menambahkan nol tidak mengubah nilai.

Karena itu nol disebut additive identity.

Sedangkan untuk perkalian, identitasnya adalah 1:

8 × 1 = 8.

Perbedaan sifat 0 dan 1 ini menjadi sangat penting dalam struktur aritmetika.

Kenapa Membagi dengan 1 Tidak Bermasalah?

Misalnya:

50 ÷ 1 = 50.

Karena:

50 × 1 = 50.

Angka 1 tidak menghancurkan informasi ketika digunakan dalam perkalian.

Tetapi nol berbeda.

Apa pun yang dikalikan nol:

hilang menjadi nol.

2 × 0 = 0.

200 × 0 = 0.

-300 × 0 = 0.

Informasi mengenai angka awalnya tidak bisa diperoleh kembali hanya dari hasil tersebut.

Pembagian Bisa Dipandang sebagai Membalik Perkalian

Kalau:

7 × 8 = 56,

maka:

56 ÷ 8 = 7.

Pembagian membantu kita “membalik” perkalian.

Tetapi perkalian dengan nol tidak dapat dibalik dengan cara yang sama.

Kalau kita hanya tahu:

x × 0 = 0,

berapa x?

Tidak tahu.

x bisa:

1,

20,

-500,

0,5,

atau banyak nilai lainnya.

Semua menghasilkan nol.

Informasi tentang x hilang.

Analogi Mesin Angka

Bayangkan sebuah mesin.

Kita memasukkan angka.

Mesin mengalikannya dengan 2.

Input:

Output:

Kalau melihat output 10, kita bisa mengetahui inputnya:

10 ÷ 2 = 5.

Sekarang mesin lain mengalikan semuanya dengan 0.

Masukkan:

5 → keluar 0.

Masukkan:

100 → keluar 0.

Masukkan:

-20 → keluar 0.

Semua input menghasilkan output yang sama.

Sekarang kita hanya melihat output:

0.

Bisakah kita mengetahui angka apa yang dimasukkan?

Tidak.

Informasinya sudah hilang.

Inilah salah satu cara intuitif memahami kenapa operasi perkalian dengan nol tidak mempunyai inverse biasa.

Kalau Pembagian Nol Diizinkan Sembarangan, Matematika Bisa Rusak

Sekarang bayangkan kita mengabaikan masalah tadi.

Kita mengatakan:

“Ya sudah, pokoknya boleh membagi dengan nol.”

Hal-hal aneh bisa terjadi.

Misalnya kita mempunyai:

0 = 0.

Tentu benar.

Kita juga bisa menulis:

1 × 0 = 2 × 0.

Karena keduanya memang 0.

Sekarang kalau kita sembarangan “membagi kedua sisi dengan 0”, kita bisa mengklaim:

1 = 2.

Padahal jelas salah.

Dari sana seluruh sistem aritmetika bisa menghasilkan kontradiksi.

Itulah sebabnya operasi harus mengikuti kondisi yang menjaga logika matematika tetap konsisten.

Trik “Membuktikan 1 = 2” Biasanya Menyembunyikan Pembagian dengan Nol

Ada teka-teki matematika klasik yang terlihat seperti berhasil membuktikan:

1 = 2.

Langkah-langkahnya dibuat terlihat seperti aljabar biasa.

Tetapi di salah satu bagian biasanya terjadi sesuatu yang tersembunyi:

sebuah ekspresi yang nilainya nol digunakan sebagai pembagi.

Begitu pembagian ilegal tersebut dilakukan, langkah setelahnya tidak lagi valid.

Ini trik yang bagus untuk menunjukkan betapa berbahayanya membagi dengan nol tanpa menyadarinya.

Contoh Sederhana

Misalnya:

a = b.

Maka:

a – b = 0.

Kalau seseorang kemudian membagi sesuatu dengan:

a – b

sebenarnya ia sedang membagi dengan:

0.

Kadang bentuknya panjang sehingga kita tidak langsung menyadarinya.

Inilah alasan dalam aljabar kita perlu mengetahui kapan sebuah denominator mungkin bernilai nol.

Pecahan Sebenarnya Menyimpan Operasi Pembagian

Ketika melihat:

3/4

kita sedang melihat:

3 ÷ 4.

Maka ketika ada:

3/0

masalahnya sama seperti:

3 ÷ 0.

Tidak terdefinisi dalam bilangan real biasa.

Karena itu denominator pecahan tidak boleh nol.

Kenapa di Aljabar Sering Ada Syarat x ≠ 0?

Sekarang kalimat dari buku matematika mulai terasa masuk akal.

Misalnya:

1/x

dengan syarat:

x ≠ 0.

Kenapa harus ditulis?

Karena kalau x = 0, denominator menjadi nol.

Ekspresi tersebut tidak mempunyai nilai real biasa pada titik itu.

Syarat domain membantu menentukan input mana yang valid.

Grafik Membuat Masalahnya Terlihat Jelas

Bayangkan fungsi:

y = 1/x

Kalau x = 1:

y = 1.

Kalau x = 0,5:

y = 2.

Kalau x = 0,1:

y = 10.

Semakin dekat x ke nol dari sisi positif, grafik naik semakin tinggi.

Dari sisi negatif, grafik turun semakin jauh.

Tetapi tepat pada:

x = 0

tidak ada titik fungsi tersebut.

Grafiknya terputus.

Garis x = 0 Menjadi Asimtot Vertikal

Dalam contoh y = 1/x, garis x = 0 merupakan vertical asymptote.

Grafik dapat semakin dekat ke garis tersebut tetapi fungsi tidak memiliki nilai pada x = 0.

Ini adalah visualisasi yang bagus untuk membedakan:

mendekati nol

dan

sama dengan nol.

Dua konsep tersebut tidak boleh dicampur.

Apakah Kalkulator Benar-Benar Tidak Bisa Menghitungnya?

Kalau memasukkan:

5 ÷ 0,

kalkulator biasa mungkin memberikan:

Error,

Math Error,

Undefined,

atau pesan serupa.

Bukan karena prosesornya kurang kuat.

Tidak ada tambahan RAM yang akan menyelesaikan masalahnya.

Masalahnya adalah operasi tersebut memang tidak mempunyai hasil bilangan real biasa yang konsisten dengan aturan pembagian.

Komputer Punya Cerita yang Sedikit Lebih Rumit

Dalam komputasi, perilaku pembagian dengan nol bergantung pada:

jenis data,

bahasa pemrograman,

dan standar numerik yang digunakan.

Beberapa sistem dapat menghasilkan error atau exception.

Dalam konteks floating-point tertentu, sistem dapat merepresentasikan hasil seperti infinity atau NaN berdasarkan aturan standar komputasinya.

Tetapi itu tidak berarti aritmetika biasa tiba-tiba menetapkan:

5 ÷ 0 = infinity.

Itu adalah aturan representasi dan komputasi dalam konteks tertentu.

Apa Itu NaN?

NaN merupakan singkatan dari:

Not a Number.

Dalam floating-point computing, NaN dapat digunakan untuk merepresentasikan hasil operasi tertentu yang tidak mempunyai nilai numerik biasa dalam sistem tersebut.

Contohnya tergantung operasi dan implementasi.

Jadi ketika software menghasilkan NaN, itu bukan sebuah angka misterius yang lebih besar dari infinity.

Ia adalah penanda khusus.

Spreadsheet Juga Harus Menangani Pembagian Nol

Kalau membuat formula:

nilai / jumlah

kemudian jumlah ternyata 0, spreadsheet dapat menghasilkan error pembagian nol.

Ini sering terjadi dalam data nyata.

Misalnya menghitung:

revenue per customer

ketika jumlah customer = 0.

Formula perlu dirancang supaya menangani kondisi tersebut.

Artinya konsep sederhana dari sekolah ternyata punya dampak langsung dalam pekerjaan data.

Persentase Juga Bisa Terjebak Masalah Nol

Misalnya sebuah bisnis tahun lalu mempunyai 0 penjualan.

Tahun ini mempunyai 10 penjualan.

Berapa persen pertumbuhannya dibanding tahun lalu?

Formula growth rate biasa melibatkan pembagian dengan nilai awal.

Tetapi nilai awalnya 0.

Maka persentase pertumbuhan biasa tidak dapat dihitung dengan formula tersebut secara normal.

Mengatakan:

“naik tak terhingga persen”

juga sering tidak memberikan informasi yang berguna.

Lebih baik menjelaskan perubahan absolut:

dari 0 menjadi 10.

Rata-Rata Juga Bergantung pada Jumlah Data

Mean sederhana dihitung dengan:

jumlah seluruh nilai ÷ jumlah data.

Kalau tidak ada data sama sekali:

jumlah data = 0.

Kita kembali menghadapi denominator nol.

Karena itu “rata-rata dari tidak ada observasi” membutuhkan penanganan khusus, bukan otomatis 0.

Ini menunjukkan bahwa pembagian dengan nol bukan teka-teki abstrak.

Ia muncul dalam analisis data sehari-hari.

Kecepatan Juga Memberikan Contoh Menarik

Kecepatan rata-rata sering dihitung:

jarak ÷ waktu.

Misalnya:

100 km ÷ 2 jam = 50 km/jam.

Tetapi kalau kita mencoba:

100 km ÷ 0 jam,

formula menjadi bermasalah.

Secara fisik, menempuh jarak 100 km dalam tepat nol waktu juga bukan situasi biasa yang bisa dimodelkan dengan rumus sederhana tersebut.

Matematika membantu menunjukkan ketika asumsi sebuah model sudah tidak masuk akal.

Harga per Barang Juga Sama

Total harga:

Rp100.000.

Jumlah barang:

Harga rata-rata per barang:

Rp20.000.

Tetapi kalau jumlah barang = 0 sementara kita tetap memasukkan total tertentu, pertanyaan:

“berapa harga per barang?”

tidak mempunyai makna normal.

Tidak ada barang yang menjadi unit pembaginya.

Kenapa Kita Boleh Membagi dengan 0,0000001?

Karena itu masih angka nonzero.

Sangat kecil bukan berarti nol.

Misalnya:

1 ÷ 0,0000001 = 10.000.000.

Hasilnya besar, tetapi valid.

Perbedaan antara:

angka sangat kecil

dan

nol

adalah salah satu detail matematika yang sangat penting.

Nol Bukan “Angka yang Sangat Kecil”

Ini misconception yang perlu dibuang.

Nol bukan versi superkecil dari angka positif.

Nol adalah nilai spesifik.

0,1 > 0.

0,000001 > 0.

0,0000000000001 > 0.

Semua masih positif.

Nol menjadi batas antara bilangan positif dan negatif pada garis bilangan.

Bagaimana dengan Bilangan Negatif Dibagi Nol?

Misalnya:

-10 ÷ 0.

Masalahnya tetap sama.

Kita mencari x sehingga:

x × 0 = -10.

Tetapi perkalian angka apa pun dengan 0 tetap 0.

Tidak ada solusi bilangan real biasa.

Jadi tanda negatif tidak menyelesaikan masalahnya.

Apakah Matematika Lanjutan Pernah “Mengizinkan” Pembagian Nol?

Ada struktur matematika tertentu yang memperluas sistem angka atau menggunakan konvensi khusus untuk tujuan tertentu.

Namun aturan dan maknanya harus didefinisikan secara eksplisit.

Hal tersebut tidak mengubah fakta bahwa dalam aritmetika bilangan real yang biasa kita gunakan:

pembagian dengan nol tidak terdefinisi.

Konteks sangat penting.

Kenapa Matematika Sangat Peduli pada Definisi?

Karena matematika harus konsisten.

Kalau simbol boleh berubah makna setiap kali kita menghadapi masalah, hasil apa pun bisa “dibuktikan.”

Definisi memberikan aturan permainan.

Misalnya pembagian berhubungan dengan perkalian.

Kalau hubungan tersebut ingin dipertahankan, kita tidak bisa sembarangan memberikan nilai pada:

a ÷ 0.

Karena nilai tersebut akan bertabrakan dengan sifat dasar nol.

“Undefined” Bukan Berarti “Kita Belum Menemukan Jawabannya”

Ini juga penting.

Ketika matematika mengatakan suatu ekspresi undefined, artinya bukan:

“Para matematikawan masih mencari jawabannya.”

Dalam konteks aritmetika biasa, ekspresi tersebut memang tidak diberikan nilai karena tidak dapat dilakukan secara konsisten berdasarkan definisi yang digunakan.

Ini berbeda dengan pertanyaan matematika terbuka yang memang belum berhasil diselesaikan.

Undefined Juga Bukan Sama dengan 0

Kadang dalam programming atau spreadsheet, orang menangani error dengan mengganti hasilnya menjadi 0 supaya dashboard terlihat rapi.

Tetapi secara matematis ini dapat menyesatkan.

Misalnya:

revenue per customer

ketika tidak ada customer.

Menampilkan 0 mungkin mempunyai arti bisnis tertentu, tetapi itu adalah keputusan pelaporan.

Bukan hasil asli dari pembagian tersebut.

Jangan Takut dengan Kata “Tidak Terdefinisi”

Matematika tidak selalu harus menghasilkan angka.

Kadang jawaban terbaik adalah:

operasinya tidak berlaku pada kondisi tersebut.

Contohnya seperti bertanya:

“Berapa harga rata-rata per apel kalau tidak ada apel?”

Kita tidak harus memaksa sebuah angka hanya karena pertanyaannya berbentuk matematika.

Kadang masalahnya ada pada pertanyaannya.

Cara Termudah Mengingatnya

Kalau lupa semua penjelasan di atas, gunakan satu pertanyaan:

“Angka apa yang jika dikalikan pembagi akan menghasilkan angka awal?”

Contoh:

20 ÷ 4 = ?

Cari x:

x × 4 = 20.

Jawaban:

Sekarang:

20 ÷ 0 = ?

Cari x:

x × 0 = 20.

Tidak ada.

Selesai.

Itulah inti masalahnya.

Bedakan Tiga Kasus Ini

Ada tiga operasi yang sering tertukar.

1. 0 ÷ 5

Hasil:

0

karena 0 × 5 = 0.

2. 5 ÷ 0

Tidak terdefinisi dalam aritmetika biasa.

Tidak ada x yang membuat x × 0 = 5.

3. 0 ÷ 0

Juga tidak dapat diberi satu hasil pembagian biasa yang unik.

Karena banyak nilai x memenuhi x × 0 = 0.

Ketiganya terlihat mirip karena sama-sama mempunyai nol.

Tetapi situasinya sangat berbeda.

Eksperimen Sederhana dengan Kalkulator

Coba buka kalkulator.

Masukkan:

10 ÷ 2.

Kemudian:

10 ÷ 1.

10 ÷ 0,1.

10 ÷ 0,01.

10 ÷ 0,001.

Perhatikan hasilnya.

Sekarang masukkan:

10 ÷ 0.

Bandingkan.

Eksperimen kecil ini membantu melihat perbedaan antara pembagi yang mendekati nol dengan pembagi yang benar-benar nol.

Dari Pertanyaan Sederhana Menuju Kalkulus

Menariknya, pertanyaan mengenai apa yang terjadi ketika sebuah nilai mendekati nol merupakan pintu menuju konsep yang jauh lebih besar.

Dalam kalkulus kita mengenal limit.

Limit memungkinkan matematika membahas perilaku sebuah fungsi ketika input mendekati nilai tertentu tanpa harus mengatakan fungsi tersebut mempunyai nilai pada titik itu.

Karena itu ekspresi yang tampak sederhana seperti:

1/x

di sekitar x = 0

bisa membawa kita menuju pembahasan:

limit,

continuity,

asymptote,

dan calculus.

Nol Mengajarkan Sesuatu tentang Matematika

Pertanyaan:

“Kenapa angka tidak bisa dibagi 0?”

kelihatannya seperti trivia sekolah.

Tetapi sebenarnya menunjukkan cara matematika bekerja.

Aturan matematika bukan sekadar daftar larangan yang harus dihafal.

Banyak aturan muncul karena kita ingin berbagai konsep tetap konsisten satu sama lain.

Perkalian.

Pembagian.

Pecahan.

Fungsi.

Grafik.

Aljabar.

Semuanya saling terhubung.

Mengubah satu aturan secara sembarangan dapat memengaruhi seluruh sistem.

Kesimpulan

Jadi, kenapa angka tidak bisa dibagi 0?

Karena pembagian merupakan kebalikan dari perkalian.

Kalau kita menulis:

12 ÷ 3 = 4

artinya:

4 × 3 = 12.

Maka kalau mencoba:

12 ÷ 0 = x

kita membutuhkan angka x yang memenuhi:

x × 0 = 12.

Masalahnya, angka apa pun yang dikalikan nol selalu menghasilkan:

0.

Tidak pernah 12.

Karena itu tidak ada bilangan real biasa yang dapat menjadi hasilnya.

Itulah alasan kenapa tidak boleh dibagi nol dalam aritmetika biasa.

Bukan karena matematikawan malas mencari jawabannya.

Bukan karena kalkulator tidak cukup canggih.

Dan bukan karena hasilnya otomatis infinity.

Operasinya memang tidak menghasilkan nilai yang konsisten dengan definisi pembagian yang kita gunakan.

Hal yang terlihat seperti aturan kecil ternyata menjaga banyak bagian matematika tetap bekerja dengan benar.

Dan mungkin itu juga yang membuat nol menjadi menarik.

Kelihatannya seperti “tidak ada apa-apa.”

Tetapi begitu ditempatkan di bawah garis pecahan, satu angka kecil tersebut bisa mengubah seluruh persoalan.