Vous préparez un petit cadeau avec un carnet et un ruban. Il existe trois motifs de carnet et deux couleurs de ruban. Combien d’associations différentes pouvez-vous composer en choisissant un seul élément de chaque sorte ?
L’exemple est fictif et volontairement petit. Avant d’écrire une multiplication, essayons de voir ce qui est compté.
Donnez un nom aux possibilités
Appelons les carnets A, B et C, et les rubans rouge et bleu. Avec le carnet A, vous pouvez former A-rouge ou A-bleu. Le carnet B donne B-rouge et B-bleu. Le carnet C donne C-rouge et C-bleu.
Nous avons six associations. Chaque carnet peut recevoir chacun des deux rubans : trois groupes de deux possibilités, soit 3 × 2 = 6. Le calcul correspond à la liste ; il ne la remplace pas par magie.
Dessinez les embranchements
Sur une feuille, tracez trois branches pour les carnets. À l’extrémité de chacune, ajoutez deux branches pour les rubans. Chaque chemin complet représente un cadeau possible. Comptez les extrémités, et non toutes les branches du dessin.
Attention au sens de la question : on compte les associations proposées, pas le nombre d’objets dans une boîte ni le nombre de cadeaux que le stock permet réellement de fabriquer. Pour cette dernière question, il faudrait connaître les quantités disponibles.
Changez une condition
Supposons maintenant que le carnet C ne puisse être associé qu’au ruban rouge. La liste perd C-bleu. Il reste 2 + 2 + 1 = 5 possibilités ; la multiplication initiale ne décrit plus cette nouvelle situation.
C’est un bon réflexe à garder : avant de multiplier deux nombres de choix, vérifier que chaque choix du premier groupe peut bien être associé à chaque choix du second. Une contrainte peut modifier le dessin et le calcul.
Pour poursuivre, ajoutez une troisième couleur autorisée pour tous les carnets et refaites la liste avant de calculer. Comparez aussi avec le problème des poignées de main : dans ce dernier, l’ordre des personnes ne crée pas une nouvelle paire. Ici, les deux rôles sont distincts, carnet d’un côté et ruban de l’autre.