Cinq personnes arrivent à une réunion. Chacune serre la main de chacune des autres, une seule fois. Combien de poignées de main faut-il compter ? La réponse n’est ni cinq, ni vingt : c’est dix. Pour voir pourquoi, mieux vaut dessiner les rencontres que chercher immédiatement une formule.
Il s’agit d’une situation mathématique fictive. Nous supposons que toutes les personnes se saluent de cette manière, qu’aucune ne se salue elle-même et qu’une même paire ne recommence pas.
Commencer par une personne
Nommez les personnes A, B, C, D et E. A rencontre B, C, D et E : cela fait quatre poignées de main. Tracez quatre traits depuis A, ou écrivez les paires AB, AC, AD et AE.
Passez ensuite à B. Sa rencontre avec A figure déjà sur la feuille. Il reste donc BC, BD et BE : trois nouvelles poignées de main. Continuer avec C ajoute CD et CE, puis D ajoute seulement DE. E n’ajoute plus de paire nouvelle.
Le total est donc 4 + 3 + 2 + 1 = 10. Chaque trait relie deux personnes et représente un seul salut.
Comprendre d’où vient le vingt
Chaque personne salue quatre autres personnes. En calculant 5 × 4, on compte cependant la rencontre AB une fois du point de vue de A et une seconde fois du point de vue de B. Le même doublon apparaît pour toutes les paires.
Diviser vingt par deux enlève ce double comptage. Ce n’est pas une correction magique : elle fonctionne ici parce que chaque rencontre a été comptée exactement deux fois, pas parfois une fois et parfois trois.
Changer une règle pour vérifier la compréhension
Ajoutez une sixième personne F. Elle rencontre les cinq personnes déjà présentes. Les dix anciennes rencontres restent les mêmes, et cinq nouvelles s’ajoutent : quinze au total. Le dessin permet de vérifier le raisonnement sans repartir de zéro.
Si certaines personnes ne se saluent pas, il faut retirer les paires correspondantes. Si elles se saluent plusieurs fois, la question change encore : compte-t-on les paires distinctes ou tous les gestes ?
Cette habitude de nommer ce que l’on compte sert ailleurs, notamment pour distinguer les piquets et les intervalles. Avant de multiplier, demandez-vous ce que représente une unité dans votre réponse.