Trois segments de longueurs positives ne suffisent pas à garantir un triangle. Il faut encore pouvoir les refermer sans les étirer. Une petite expérience sur papier aide à comprendre ce que le calcul vérifie.
Prenons des longueurs de 3, 4 et 8 centimètres. Même placés bout à bout dans le prolongement l’un de l’autre, les segments de 3 et de 4 ne couvrent que 7 centimètres. Ils ne peuvent donc pas rejoindre les deux extrémités du segment de 8 pour former le troisième sommet.
Avec 3, 4 et 7, les trois segments peuvent seulement s’aligner. La figure est aplatie : ce n’est pas un triangle non dégénéré. Il faut une somme strictement supérieure à la plus grande longueur.
Avec 3, 4 et 6, cette difficulté disparaît. La somme des deux petites longueurs vaut 7, donc dépasse 6. Pour trois longueurs positives classées dans l’ordre, ce contrôle suffit : les deux autres sommes dépassent déjà le côté auquel on les compare.
Utilisez des bandes de papier ou un dessin articulé pour explorer les positions possibles, sans confondre une esquisse imprécise avec une preuve de mesure. Le calcul conserve les longueurs exactes de l’exercice.
Avant de chercher une aire ou un angle, vérifiez donc que la figure demandée peut exister. Ce contrôle évite de poursuivre des calculs sur un triangle que ses propres données rendent impossible.
Illustration choisie dans la collection du site.