Posez un jeton. Pour obtenir un carré de deux jetons sur deux, il faut en ajouter trois. Pour passer au carré de trois sur trois, il en faut cinq de plus. Les nombres impairs apparaissent ici comme des bordures que l’on peut voir.
Construire les premières figures
Dessinez un carré de deux rangées et deux colonnes sur du papier quadrillé. Il contient quatre cases : une case de départ et trois nouvelles. Ajoutez ensuite une rangée de trois cases et une colonne de deux cases pour former le carré suivant.
Vous venez d’ajouter cinq cases, sans compter deux fois celle du coin. Les sommes deviennent 1, puis 1 + 3 = 4, puis 1 + 3 + 5 = 9. Chaque résultat correspond à la taille du carré construit.
Expliquer la bordure suivante
Un carré de côté n contient n × n cases. Pour obtenir un côté n + 1, ajoutez une rangée de n + 1 cases et une colonne de n cases. La nouvelle bordure contient donc 2n + 1 cases, un nombre impair.
Cette description explique le mécanisme au-delà des trois premiers dessins. Notre article sur la différence entre exemple et preuve aide à comprendre pourquoi voir quelques résultats n’est pas encore une explication générale.
Faire compter une autre personne
Demandez à quelqu’un de colorier la nouvelle bordure d’un carré de quatre sur quatre, puis de montrer où se trouvent ses sept cases. Vérifiez ensemble que le coin appartient à une seule partie du comptage.
Le matériel peut être très simple : papier, crayon ou jetons assez grands pour l’activité. L’intérêt est de relier une addition à une construction. Les impairs cessent alors d’être une liste à mémoriser et deviennent les étapes visibles d’un carré qui grandit.